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Samedi 26 août 2017
Cauchemar pour certains au collège et au lycée, l’étude des distances et des angles dans les triangles est utilisée partout, de l’architecture à l’astronomie. Et si on crédite les Grecs Pythagore et surtout Hipparque pour son invention, il semble que les Babyloniens les aient précédés de près de 1.000 ans. Avec une méthode bien plus simple.
Le mathématicien australien Daniel Mansfield pense avoir enfin percé les secrets de la tablette Plimpton 322, un trésor archéologique vieux de 3.700 ans. Ce chercheur de l’université New South Wales (Australie) publie ses conclusions dans la revue Historia Mathematica. Et selon lui, cette sorte de tableau couvert d’inscriptions cunéiformes est une table trigonométrique pour différents triangles rectangles.
Calculs en base 60 sans cosinus
La différence principale avec la trigonométrie grecque que nous utilisons de nos jours, c’est que les Babyloniens n’utilisaient ni angles ni les fonctions complexes sinus, cosinus et tangente. Leur table exprimait simplement des ratios entre des longueurs. Et parce que leurs mathématiques étaient en base 60, ils avaient des chiffres exacts et pas des arrondis, ce qui était pratique pour calculer la pente d’une pyramide ou la diagonale d’un rectangle.
Le problème de la base 10, c’est qu’elle n’a que deux diviseurs stricts (2 et 5). La base 60, qu’on utilise encore pour le temps (heure, minute, seconde), elle, en a dix (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30). Le premier chiffre non diviseur est 7, devenu soit béni, soit démoniaque [1]. Du coup, une fraction a/b est beaucoup plus souvent un chiffre rond et fini. Un tiers d’heure est vingt minutes. Essayez de couper une planche de 1m en trois parties exactement égales, c’est impossible.
Hipparque, lui, s’appuie sur le fameux cercle trigonométrique. Et si les fonctions mathématiques sinus et cosinus sont également basées sur les rapports entre les côtés d’un triangle rectangle et l’hypoténuse, on se retrouve souvent à manipuler des nombres irrationnels du genre Racine (2)/2.
Composé de quatre colonnes et de 15 rangées de nombres inscrits en cunéiforme, la célèbre tablette P322 a été découverte au début des années 1900 dans ce qui est maintenant le sud de l’Irak par l’archéologue, le négociant en antiquités et le diplomate Edgar Banks, qui a inspiré le personnage de fiction « Indiana Jones ».
Maintenant stockée à l’Université de Columbia, la tablette a attiré l’attention dans les années 1940, lorsque les historiens ont reconnu que ses inscriptions cunéiformes contiennent une série de nombres faisant écho au théorème de Pythagore, ce qui explique la relation entre les longueurs des côtés d’un triangle rectangle. (Le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés). Mais pourquoi les scribes anciens ont-ils généré et trié ces chiffres ?
Les inscriptions cunéiformes sur Plimpton 322 suggèrent que les Babyloniens utilisaient une forme de trigonométrie basée sur les rapports des côtés d’un triangle, plutôt que sur des angles, des sinus et des cosinus qui nous sont familiers.
Le mathématicien Daniel Mansfield de l’Université de Nouvelle-Galles du Sud (UNSW) à Sydney a développé un cours pour les enseignants de mathématiques du secondaire en Australie lorsqu’il a rencontré une image de P322. Intrigué, il s’est associé au mathématicien Norman Wildberger de l’UNSW pour l’étudier. "Il m’a fallu 2 ans pour regarder cette [tablette] et dire :" Je suis sûr que c’est trigonométrique, je suis sûr que c’est trigonométrique, mais comment ?", a déclaré M. Mansfield. Les sinus, les cosinus et les angles utilisés par les astronomes grecs et les lycéens modernes manquaient complètement sur la tablette. Au lieu de cela, chaque entrée comprend des informations sur les deux côtés d’un triangle rectangle : le rapport du côté court au côté long et le rapport du côté court à la diagonale ou hypoténuse. Mansfield s’est rendu compte que l’information dont il avait besoin avait des pièces manquantes dans la P322, mais elles avaient été reconstruites par d’autres chercheurs. "Ces deux ratios de la reconstruction ont vraiment fait de la P322 une table trigonométrique propre et facile à utiliser", dit-il.
Lui et Wildberger ont conclu que les Babyloniens ont exprimé la trigonométrie en termes de rapports exacts de la longueur des côtés droits des triangles, plutôt que par des angles, en utilisant leur mathématiques en base 60, qu’ils rapportent aujourd’hui dans Historia Mathematica. "Il s’agit d’une façon complètement différente de regarder la trigonométrie", dit Mansfield. "Nous préférons les sinus et les cosinus … mais nous devons vraiment sortir de notre propre culture pour voir leur point de vue pour pouvoir les comprendre".
Si la nouvelle interprétation est correcte, la P322 ne contiendrait pas seulement la première preuve de la trigonométrie, mais elle représenterait également une forme exacte de la discipline mathématique, plutôt que les approximations que les valeurs numériques estimées que les sinus et les cosinus fournissent, note Mathieu Ossendrijver, Historien de la science ancienne à l’Université Humboldt à Berlin. La table, dit-il, contient des valeurs exactes des côtés pour une gamme de triangles rectangles. Cela signifie que, comme pour les tables trigonométriques modernes, quelqu’un utilisant le rapport connu de deux côtés peut utiliser des informations dans la tablette pour trouver les rapports des deux autres côtés.
L’historienne mathématique Christine Proust, du Centre national français de la recherche scientifique à Paris, spécialiste de la tablette, appelle l’hypothèse de l’équipe « une idée très séduisante ». Mais elle souligne qu’aucun texte babylonien connu ne suggère que la tablette ait été utilisée pour résoudre ou comprendre les triangles rectangles. L’hypothèse est « mathématiquement robuste, mais pour l’instant, elle est très spéculative », dit-elle.
Pourquoi une heure dure 60 minutes ? Et une minute, 60 secondes ?
Même si certaines périodes de notre histoire ont pu faire exception, le fait qu’une heure compte 60 minutes et que chaque minute compte à son tour 60 secondes est ancré dans notre civilisation depuis l’Antiquité. Il faut dire que la base 60 se révèle des plus pratiques. Découvrez pourquoi.
Pour comprendre pourquoi une heure dure 60 minutes et pourquoi une minute dure 60 secondes, il faut remonter à l’Antiquité. En effet, il y a quelque 3.000 ans av. J.-C., nos ancêtres babyloniens ont choisi de découper l’année en 12 mois de 30 jours. Pour cela, ils se sont basés sur les cycles lunaires et la période de révolution de la Terre autour du Soleil ainsi que sur leur façon de compter sur les phalanges des doigts avec leur pouce. C’est donc tout naturellement qu’ils ont également trouvé 360 divisions — 12 × 30 = 360, soit 360 degrés — au cercle.
Plus généralement, les Babyloniens avaient, semble-t-il, un faible pour le calcul en base 60. Peut-être parce que, contrairement au nombre 10, le nombre 60 possède de nombreux diviseurs : 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 et 30. De quoi faciliter en effet les calculs.
Pourquoi les jours durent 24 heures ?
Si les jours durent 24 heures, c’est également un héritage de nos ancêtres sumériens. On imagine que, comme ils avaient déjà découpé l’année en 12 mois, ils ont probablement estimé cohérent de découper le jour en 12 heures et la nuit en 12 heures aussi, soit un total de 24 heures.
[1] Qui a inventé la semaine de 7 jours ?
Une liste royale sumérienne laisse perplexes les historiens après plus d’un siècle de recherche
Les Arabes précurseurs de l’ère numérique ?
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