https://chabiba.collectifnovembre.c…
8 septembre 2021
LE PARADOXE DE L’INFINI
Quand on veut manipuler la notion d’infini, il surgit certains paradoxes difficile à expli- quer et qui heurtent le bon sens. Par exemple considérons un segment de droite AB de longueur 2cm et un autre segment CD de longueur 4cm. Il y autant de point dans AB que dans CD. Plus précisément il ya une infinité de points dans les deux segments, ils peuvent être mis en bijection. Et pourtant CD mesure le double de AB. Difficile à admettre !
Un autre exemple, Soit l’ensemble des entiers
N = 1, 2, 3, . . . , 100, 101, . . .
Soit Q l’ensemble des nombres rationnels (fractions) c’est-à-dire :
Tous les entiers (l’ensemble N ) sont des éléments de Q. Le bon sens nous dicte donc que l’ensemble Q contient plus d’éléments que N . Pourtant on apprend au Lycée que l’ensemble Q et N sont en bijection (c’est à dire ils ont le même nombre d’éléments). Où réside donc l’énigme ?
Encore plus de mystère
Ramanunja (1987-1920) un mathématicien indien a montré ce résultat intrigant : la somme de tous les entiers est égale à un nombre négatif − 1 .
Sa preuve est simple et compréhensible par tous.
On pose
C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + . . . + 100 + . .
On a :
4C = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + . . . + 400 + . . . .
On calcule C − 4C de cette manière :
C = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 …
-4C = – 4 – 8 – 12 …
-3C = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 …
1
On calcule encore (−3C + (−3C) = −6C) de cette manière :
-3C = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 …
-3C = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 …
-6C = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 …
On calcule finalement (−6C + (−6C) = −12C) de cette manière :
-6C = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 …
-6C = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 …
-12C = 1
On trouve bien :
C = − 12
Cette preuve de Ramanunja ne souffre d’aucune erreur. Elle manipule seulement le concept d’ensemble infini. Beaucoup d’interprétations et tentatives d’expliquer ce résultat ont été avancées par des mathématiciens et physiciens. Pour certains l’infini ne peut pas exister c’est une idéalisation, il n’a pas de contre partie réelle ; pour d’autres c’est une notion pratique pour résoudre des problèmes mathématiques et physiques et il ne faut pas autoriser certaines opérations pour éviter ainsi des paradoxes. Selon la position où le point de vue que l’on adopte la question n’est pas tranchée. C’est le propre de la science. On formule des théories pour résoudre certains problèmes et en même temps cette théorie génère de nouveaux problèmes que l’on ne peut pas résoudre dans le cadre de cette même théorie. Il faut la dépasser pour trouver la solution à ces nouveaux problèmes. D’une manière générale si certains problèmes sont inhérents au système lui même, alors pour les résoudre il faut le dépasser.
Mohamed Mezghiche
RSS 2.0